Question

某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口北偏西且与该港口相距20海里的处，并以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶，假设该小船沿直线方向以海里/时的航行速度匀速行驶，经过小时与轮船相遇.

（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.

Answer

（1）当t＝时，Smin＝10，此时v＝＝30

（2）航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇．

【解析】试题分析：（1）设相遇时小艇的航行距离为海里，则由余弦定理得，再由二次函数的性质求得最值；（2）根据题意，要用时最小，则首先速度最高，即为海里/小时，然后是距离最短，则，解得，再解得相应角．

试题解析：（1）设相遇时小艇的航行距离为海里，

则

故当时，

即小艇以海里/小时的速度航行，相遇小艇的航行距离最小

（2）

设小艇与轮船在处相遇.

则，

故

∵，

∴，即，解得

又时， ，

故时， 取得最小值，且最小值等于

此时，在中，有，

故可设计航行方案如下：

航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时

考点：函数模型的选择与应用．