Question

已知函数，其中．　

（Ⅰ）若，求函数的图象在点处的切线方程；

（Ⅱ）若， 恒成立，求的取值范围.

Answer

（1）（2）

【解析】试题分析：（Ⅰ）先求导数 ，欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而问题解决．

（Ⅱ），令其为，则．

对 进行分类讨论，把不等式成立恒问题转化为判断函数单调性问题解决

试题解析：（Ⅰ）当时， ，当时， ，

，所以所求切线方程为： ．

（Ⅱ）首先，令其为，则．

当即时， 单调递减，即单调递减，

， 单调递减， ，所以成立；

当时， 解得： ，当时，

单调递增，即单调递增，

， 单调递增， ，所以不成立．

综上所述： ．

点睛：本题主要考查函数的切线方程及有关不等式恒成立问题，考查利用导数研究函数的性质，注意分类讨论思想的运用，逻辑性强，属难题．