Question

已知圆： （），设为圆与轴负半轴的交点，过点作圆的弦，并使弦的中点恰好落在轴上．

（Ⅰ）求点的轨迹的方程；

（Ⅱ）延长交曲线于点，曲线在点处的切线与直线交于点，试判断以点为圆心，线段长为半径的圆与直线的位置关系，并证明你的结论．

Answer

（1）（）．（2）见解析

【解析】试题分析：（1）由题意得 ，设中点为 则

得到关于 的方程就是点 的轨迹的方程.（2）设直线的方程为求出直线的方程并联立得到点坐标，由两点距离公式求出，再由点到直线的距离公式求出距离则线段长为半径的圆与直线相切.

试题解析：（Ⅰ）设，由题意可知， ， 的中点， ，

因为， ， ．

在⊙C中，因为，∴，

所以，即（），

所以点的轨迹的方程为： （）．

（Ⅱ） 设直线MN的方程为， ， ，直线BN的方程为，

，可得，

，则点A，所以直线AM的方程为，

， ，可得，

直线BN的方程为，

联立可得，

所以点， ， ，

∴与直线MN相切．

点睛：在确定以 为直径的圆与直线 的位置关系中，巧妙地观察圆与直线 相切，这就可以选择用圆心到直线的距离等于半径来证明，避免了联立方程组，判断 的代数法.