Question

已知函数为其定义域内的奇函数．

（1）求实数的值；

（2）求不等式的解集；

（3）证明： 为无理数．

Answer

（1）；（2）；（3）见解析.

【解析】试题分析：（1）利用恒成立即可得结果；（2）利用，考虑函数的定义域即可得结果；（3）利用反证法，设，导出矛盾，即得证.

试题解析：（1）因为为其定义域内奇函数，

所以 ，

即

即

所以

当时，对数无意义，故舍去，

所以

（2）的定义域为

由, 得

又因为的定义域为

所以得解集为

（3）（）

假设为有理数，则其可以写成最简分数形式，而且唯一的，

设（其中为两个互质的正整数）

得 ，即 （*），

因为为两个互质的正整数，

所以为奇数， 为偶数，显然奇数不等于偶数，

所以（*）式不成立…

所以假设不成立，

所以为无理数…