Question

（1）已知椭圆方程为，点．

i．若关于原点对称的两点记直线的斜率分别为，试计算的值；

ii．若关于原点对称的两点记直线的斜率分别为，试计算的值；

（2）根据上题结论探究：若是椭圆上关于原点对称的两点，点是椭圆上任意一点，且直线的斜率都存在，并分别记为，试猜想的值，并加以证明．

Answer

（1）；（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）i直接求出、的值，即可得结果；ii直接求出的值，即可得结果；（2）根据两种特殊情况进行归纳推理可得： ，其中点是椭圆上关于原点对称的两点，点是椭圆上任意一点，然后设出点 的坐标，代入椭圆方程并作差，变形整理即可得到是与点位置无关的定值.

试题解析：（1）i. 因为,

所以

ii. 因为，

所以

（2）猜想

证明: 设点,则点,从而,设点,

由,

得（*）

由， ，

代入（*）式得

所以

【方法点睛】本题主要考查直线的斜率公式及椭圆的简单性质、圆锥曲线的定值问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.