Question

已知数列中，满足记为前n项和．

（I）证明： ；

（Ⅱ）证明：

（Ⅲ）证明： .

Answer

（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．

【解析】试题分析：（1）因为所以作差，变形可得用数学归纳法证明即可；（2）关于n的等式用数学归纳法证明；（3）由同角三角函数基本关系式 和得，再由 得，化简可得。再由数列的前n项和及等比数列前n项和公式可得结论。

试题解析：证明：（I）因

故只需要证明即可 ……………………………………………………3分

下用数学归纳法证明：

当时， 成立

假设时， 成立，

那么当时， ，

所以综上所述，对任意， …………………………………………6分

（Ⅱ）用数学归纳法证明

当时， 成立

假设时，

那么当时，

所以综上所述，对任意， …………………………10分

（Ⅲ）得 …12分

故 ……15分

【点睛】1.证明不等式可作差比较；2.对于与正整数有关的等式或不等式可用数学归纳法证明。