Question

如图，已知椭圆经过不同的三点在第三象限），线段的中点在直线上．

（Ⅰ）求椭圆的方程及点的坐标；

（Ⅱ）设点是椭圆上的动点（异于点且直线分别交直线于两点，问是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．

Answer

（1）；（2）．

【解析】试题分析：（1）点的坐标代入椭圆的方程就可求得方程，设点的坐标，根据条件可得点的坐标代入椭圆方程，BC中点坐标代入直线的方程，两方程联立可求点的坐标；（2）设，根据三点共线，用点P的坐标表示，同理用点P的坐标表示。再求为定值，所以。

试题解析：（Ⅰ）由点在椭圆上，得解得所以椭圆的方程为………………………3分

由已知，求得直线的方程为从而（1）

又点在椭圆上，故（2）

由（1）（2）解得（舍去）或从而

所以点的坐标为………………………………………6分

（Ⅱ）设

因三点共线，故整理得

因三点共线，故整理得……………10分

因点在椭圆上，故，即

从而

所以为定值． ………………………15分

【点睛】1.求点的坐标可由条件得关于坐标的两个关系式，解方程组即可；2.因为两点，

在直线上，设所以，再由条件找两点的坐标与点的坐标的关系，根据点在椭圆上，可求为定值。