Question

已知函数（），.

（1）若的图象在处的切线恰好也是图象的切线.

①求实数的值；

②若方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围.

（2）当时，求证：对于区间上的任意两个不相等的实数， ，都有成立.

Answer

（1）①, ；（2）详见解析

【解析】试题分析：（1）①首先求函数的图象在处的切线， ， ，又因为切点为，所以切线方程为，于是问题转化为直线与函数图象相切，于是可以根据直线与抛物线相切进行解题；②问题转化为方程在区间内有唯一实数解，参变量分离得，设， ，研究的单调性、极值，转化为直线与有且只有一个交点，（2）当时， 在上单调递增， 在上单调递增，设，则， ，于是问题转化为，构造函数，通过函数在上单调递减，可以求出的取值范围.

试题解析：①，∴， ，切点为，

∴切线方程为，即，

联立，消去，可得， ，

∴；

②由，得，

设， ，则问题等价于与的图象在上有唯一交点，

∵，∴， ，函数单调递增， ， ，函数单调递减，

∵， ，且时， ，

∴；

证明：（2）不妨设，则， ，

∴可化为

∴

设，即，∴在上单调递减，

∴恒成立，即在上恒成立，

∵，∴，

从而，当时，命题成立.