Question

已知函数， .

（Ⅰ）若函数的图象在处的切线平行于轴，求函数在上的最大值与最小值；

（Ⅱ）对于任意的， 恒成立，试求实数的取值范围.

Answer

（1）最大值与最小值分别为与.（2）

【解析】【试题分析】（１）先借助导数的几何意义求出参数，再依据导数与函数的单调性之间的关系求解；（２）先求函数的最大值，再将不等式在进行等价转化，再构造函数，借助导数知识分析求【解析】

(Ⅰ)对求导可得， ，

由题意知，∴，

∴，

又∵函数的定义域为，

∴函数在上单调递减，

∴对， ， ，

故函数在上的最大值与最小值分别为与.

（Ⅱ）∵，∴.

令，得或，

∴函数在上单调递减，在上单调递增，则对， .

∴在上恒成立，

即，

设，

则，

所以，

故实数的取值范围为.

点睛：本题以含参数的函数解析式为背景，旨在考查导数知识在研究函数的单调性＼极值（最值）等方面的综合运用。求解第一问时先借助导数的几何意义求出参数，再依据导数与函数的单调性之间的关系求出其最值使得问题获解；求解第二问时，先求函数的最大值，再将不等式在分离参数进行等价转化，再构造函数，借助导数知识求其最大值，从而使得问题获解。