Question

已知函数， .

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数在区间有唯一零点，证明： .

Answer

（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）求导得， 分， ， ，三种情况讨论可得单调区间.

（Ⅱ）由（1）及可知：仅当极大值等于零，即且

所以，且，消去得，构造函数，证明单调且零点存在且唯一即可.

试题解析：（Ⅰ） ， ，

令， ，

若，即，则，

当时， ， 单调递增，

若，即，则，仅当时，等号成立，

当时， ， 单调递增.

若，即，则有两个零点， ，

由， 得，

当时， ， ， 单调递增；

当时， ， ， 单调递减；

当时， ， ， 单调递增.

综上所述，

当时， 在上单调递增；

当时， 在和上单调递增，

在上单调递减.

（Ⅱ）由（1）及可知：仅当极大值等于零，即时，符合要求.

此时， 就是函数在区间的唯一零点.

所以，从而有，

又因为，所以，

令，则，

设，则，

再由（1）知： ， ， 单调递减，

又因为， ，

所以，即

点晴：本题考查函数导数与单调性.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.