Question

已知椭圆经过点，且离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与圆相切于点，且与椭圆相交于不同的两点， ，求的最大值.

Answer

（Ⅰ）;（Ⅱ）2.

【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知列式， ， 可得椭圆方程.

（Ⅱ）由直线与圆相切，得，即，

再由代入，联立结合韦达定理可得

利用均值不等式求最值即可.

试题解析：（Ⅰ）由已知可得， ，解得， ，

所以椭圆Γ的方程为．

（Ⅱ）当直线垂直于轴时，由直线与圆： 相切，

可知直线的方程为，易求.

当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，

由直线与圆相切，得，即，

将代入，整理得，

设， ，则， ，

，

又因为，

所以，

当且仅当，即时等号成立，

综上所述， 的最大值为2.

点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．