Question

已知函数，其中．

（1）当时，求证： ；

（2）对任意，存在，使成立，求的取值范围（其中是自然对数的底数， ）．

Answer

（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的最大值，证明结论即可；
（2）问题转化为, 设，求导，利用单调性求范围即可.

试题解析：

【解析】
（1）当时， ，

则，令，得，

当时， ， 单调递增；当时， ， 单调递减，

故当时，函数取得极大值，也为最大值，所以，

所以，得证．

（2）原题即对任意，存在，使成立，

只需，

设，则，

令，则对于恒成立，

所以为上的增函数，

于是，即对于恒成立，

所以为上的增函数，则，

令，则，

当时， 为的减函数，且其值域为，符合题意．

当时， ，由得，

由得，则在上为增函数；由得，则在上为减函数，所以，从而由，解得，综上所述， 的取值范围是．

点睛：利用导数解决不等式有解问题的“两种”常用方法

(1)分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地， 恒成立，只需即可； 恒成立，只需即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.