Question

设函数（，且），（其中为的导函数）.

（Ⅰ）当时，求的极大值点；

（Ⅱ）讨论的零点个数.

Answer

（1）的极大值点为．（2）见解析

【解析】试题分析：

(1)由题意可得，由导函数讨论函数的单调性可得的极大值点为．

(2)分类讨论可得：当或时，有一个零点；当或时，有2个零点；当或时，有3个零点．

试题解析：

【解析】
（Ⅰ），，解得．

当时，；当时，，故的极大值点为．

（Ⅱ）（1）先考虑时，的零点个数，当时，为单调减函数，

，，由零点存在性定理知有一个零点．

当时，由，得

，即，即，令，则．

由，得，当时，；当时，，

故，，且总成立，故的图象如图，

由数形结合知，

①若，即时，当时，无零点，故时，有一个零点；

②若，即时，当时，有一个零点，故时，有2个零点；

③若，即时，当时，有2个零点，故时，有3个零点．

（2）再考虑的情形，若，则，同上可知，

当，即时，有一个零点；

当，即时，有2个零点；

当，即时，有3个零点．

综上所述，当或时，有一个零点；

当或时，有2个零点；

当或时，有3个零点．