Question

如图，在四棱锥中， 底面，底面是直角梯形， ， ， ， 是的中点．

（1）求证：平面平面；

（2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值．

Answer

（1）详见解析；（2）．

【解析】试题分析：（1）欲证平面平面，只要证平面即可；（2）设，取中点，以点为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，求向量与平面的法向量的夹角即可．

试题解析：

（1）证明：∵平面， 平面，

∴，

∵， ，

∴，

∴，

∴，

又，

∴平面，

∵平面，

∴平面平面．

（2）【解析】
设，取中点，以点为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，

则， ， ， ， ，则， ， ，

取，则，即为面的一个法向量．

设为面的法向量，则，即

取，则， ，则，

依题意得，取，

于是， ，设直线与平面所成角为，则，

即直线与平面所成角的正弦值为．

考点：1、面面垂直的判定；2、直线与平面所成的角．

【方法点睛】用向量法求线面夹角的步骤：先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹角．本题考查面面垂直的判定，向量法求二面角、线面角，问题的关键是求平面的法向量，考查学生的空间想象能力．属于中档题．