Question

已知抛物线： （），过其焦点作斜率为1的直线交抛物线于、两点，且．　

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）已知动圆的圆心在抛物线上，且过定点，若动圆与轴交于、两点，且，求的最小值.

Answer

（1）（2）

【解析】试题分析：（1）由抛物线焦点弦公式有，再利用直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理得，即得，（2）先设动圆圆心，则得圆方程，再令，得、两点横坐标： ， ，代入得，利用基本不等式求最值，可得的最小值.

试题解析：【解析】
（Ⅰ）设抛物线的焦点为，则直线： ，

由得，

∴， ，

∴，∴，

∴抛物线的方程为．

（Ⅱ）设动圆圆心， ， ，则，

且圆： ，

令，整理得，解得， ，

，

当时， ，

当时， ，

∵，∴，

，

∵，

∴的最小值为．

点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.