Question

设函数， ， .

（1）当时，求函数在点处的切线方程；

（2）若函数有两个零点，试求的取值范围；

（3）证明.

Answer

（1）（2）（3）见解析

【解析】试题分析：

（1）求出导数，计算得切线斜率，由点斜式写出直线方程，整理成一般式即可；

（2）函数有两个零点，首先用导数来研究函数的性质：单调性、极值，然后由零点存在定理进行判断，求出，按分类讨论， 时， 只有一个零点； 时， ，这样易判断的正负，从而得的单调区间和极值，由零点存在定理可判断符合题意；在时， 有两个解和，又要按的大小分类研究的正负得的单调性，从而确定零点个数，最后综合可得；

（3）证明函数不等式，可证，设，利用导数求出的最大值，只要最大值小于等于0，即证．

试题解析：

（1）函数的定义域是， .

当时， ， .

所以函数在点处的切线方程为.

即.

（2）函数的定义域为，由已知得.

①当时，函数只有一个零点；

②当，因为，

当时， ；当时， .

所以函数在上单调递减，在上单调递增.

又， ，

因为，所以， 所以，所以

取，显然且

所以， .

由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点.

③当时，由，得，或.

当，则.

当变化时， ， 变化情况如下表：

注意到，所以函数至多有一个零点，不符合题意.

当，则， 在单调递增，函数至多有一个零点，不符合题意.

若，则.

当变化时， ， 变化情况如下表：

注意到当， 时， ， ，所以函数至多有一个零点，不符合题意.

综上， 的取值范围是.

（3）证明： .

设，其定义域为，则证明即可.

因为，取，则，且.

又因为，所以函数在上单增.

所以有唯一的实根，且.

当时， ；当时， .

所以函数的最小值为.

所以.

所以.

点睛：利用导数证明不等式的技巧：

（1）树立服务意识．利用给定函数的某些性质岧函数的单调性、最值等，服务于要证明的不等式．

（2）强化变形技巧．对于给出的不等式直接证明无法下手，可考虑对不等式进行必要的等价变形后，再去证明．例如采用两边取对数（指数），移项通分等等，要注意变形的方向，因为要利用函数的性质，力求变形后不等式一边出现需要的函数关系式．

（3）巧妙构造函数，．根据不等式的结构特征构造函数，利用函数的最值进行解决，在构造函数的时候灵活多样，注意积累经验．

（4）证明操作过程：

①构造函数，转化为证明或；

②利用导数求函数的单调区间；

③利用定义域内与0的大小关系，证明不等式．