Question

已知数列中，，其前项和为，且满足，．

(1)求数列的通项公式；

(2)记，若数列为递增数列，求的取值范围．

Answer

(1) ;（2）．

【解析】试题分析: (1)由和项求通项,一般利用进行转化，得到项之间递推关系式，再利用叠乘法求通项，（2）研究数列单调性，只需研究相邻两项之间关系即可，本题数列为递增数列，等价于恒成立，再利用变量分离转化为对应数列最值问题：的最小值，最后根据数列{}单调性求最小值，即得的取值范围．

试题解析:(1)∵，

∴，∴，

即，∴，

∴ ∴.

（2）.

.

∵数列为递增数列，∴，即.

令，则.

∴为递增数列，∴，即的取值范围为．

点睛：解决数列的单调性问题可用以下三种方法

①用作差比较法，根据的符号判断数列是递增数列、递减数列或是常数列.

②用作商比较法，根据与1的大小关系及符号进行判断.

③结合相应函数的图像直观判断，注意自变量取值为正整数这一特殊条件