Question

（本小题共14分）

如图，在四棱锥中， 平面，底面是菱形， .

(Ⅰ)求证： 平面

（Ⅱ）若求与所成角的余弦值；

（Ⅲ）当平面与平面垂直时，求的长.

Answer

：证明：（Ⅰ）因为四边形ABCD是菱形，所以又因为平面。所以，

所以平面。

（Ⅱ）设，因为

所以，如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，则所设与所成角为，则

（Ⅲ）由（Ⅱ）知设。则设平面的法

向量则，所以令则，

所以同理，平面的法向量，因为平面，所以，即解得，所以

【解析】试题分析：（Ⅰ）因为四边形ABCD是菱形，可得AC⊥BD，又因为PA⊥平面ABCD，可得PA⊥BD. 根据线面垂直的判定定理即可得到结果；（Ⅱ）设AC∩BD=O，因为∠BAD=60°，PA=AB=2, 所以BO=1，AO=CO=，故以O为坐标原点，OB为X轴，OC为Y轴建立空间直角坐标系O—xyz，可得设PB与AC所成角为，利用夹角公式即可求出结果.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，设P（0，－，t）（t>0），则，求出平面PBC的法向量为，平面PDC的法向量，因为平面PCB⊥平面PDC,所以=0，建立方程，即可求出PA的值.

试题解析：证明：（Ⅰ）因为四边形ABCD是菱形，

所以AC⊥BD.

又因为PA⊥平面ABCD.

所以PA⊥BD. 又因为

所以BD⊥平面PAC.

【解析】
（Ⅱ）设AC∩BD=O.

因为∠BAD=60°，PA="AB=2,"

所以BO=1，AO=CO=.

以O为坐标原点，OB为X轴，OC为Y轴建立空间直角坐标系O—xyz，则P（0， ，2），A（0， ，0），B（1，0，0），C（0， ，0）.

所以

设PB与AC所成角为，则

.

【解析】
（Ⅲ）由（Ⅱ）知

设P（0，－，t）（t>0），则

设平面PBC的法向量,

则

所以取则所以

同理，平面PDC的法向量

因为平面PCB⊥平面PDC,所以=0，即

解得，所以PA=

考点：1.线面垂直的判定定理；2.异面直线成角；3.空间向量在立体几何中的应用.