Question

已知圆与曲线有三个不同的交点.

（1）求圆的方程；

（2）已知点是轴上的动点， ， 分别切圆于， 两点.

①若，求及直线的方程；

②求证：直线恒过定点.

Answer

（1）；（2）①或；②过定点.

【解析】试题分析：（1）由得或。直线与圆相交，故直线与圆相切，所以可用圆心到直线的距离等于，可求得；（2）①设直线， 交于点，由弦长、勾股定理可求|MP|，在直角三角形AMQ，由三角形相似得，求得，设点，由距离公式求点的坐标，再结合点M的坐标求直线MQ的方程；②设点，求过点Q、M的圆的方程，弦AB为两圆的公共弦，求直线AB的方程，由方程求定点的坐标。

试题解析：（1）因为直线与圆相切，

故圆心到直线的距离为，即： ， .

所以圆的方程为.

（2）①设直线， 交于点，则，

又，所以，

而，所以，

设，而点，由， ，

则或，

从而直线的方程为：

或.

②证明：设点，由几何性质可以知道， ， 在以为直径的圆上，

此圆的方程为， 为两圆的公共弦，

两圆方程相减得，

即，

所以过定点.

【点睛】（1）曲线表示两直线或。两直线与圆一相交、一相切，由相切求半径；（2）①分析图形，在三角形OMQ中，由三角形相似求|MQ|，再由距离公式求点Q的坐标，有两点式求直线方程；②弦AB为过点Q、M的圆与圆M的公共弦，两圆方程相减求直线AB方程，由方程求定点坐标。