Question

已知直线： 恒过定点，圆经过点和点，且圆心在直线上.

（1）求定点的坐标；

（2）求圆的方程；

（3）已知点为圆直径的一个端点，若另一个端点为点，问：在轴上是否存在一点，使得为直角三角形，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.

Answer

（1）；（2）；（3）.

【解析】试题分析：（1）直线过定点问题，应将直线： 的方程中含 的项合并，变为，解方程组即可求定点坐标；（2）方法一：设圆的一般方程为，其圆心为 ，由条件可得关于 三元方程组，解方程组可求解；方法二：设圆的方程为标准方程。（3）圆心C为 的中点，由中点坐标公式求点 的坐标。点M到圆心C距离大于半径，所以点M在圆C外。故 或 为直角，两邻边垂直，斜率乘积为-1，可求m的值。

试题解析：（1）由得， ，

令，得，即定点的坐标为.

（2）设圆的方程为，

由条件得，解得.

所以圆的方程为.

（3）圆的标准方程为， ，

设点关于圆心的对称点为，则有，

解得， ，故点的坐标为.

因为在圆外，所以点不能作为直角三角形的顶点，

若点为直角三角形的顶点，则有， ，

若点是直角三角形的顶点，则有， ，

综上， 或.

所以，

所以.

【点睛】三角形的三个顶点都可能为直角，点M到圆心的距离大于半径，故点M在圆外；直角三角形的两邻边垂直，两用斜率之积为-1，可求点的坐标。