Question

已知函数.

（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；

（Ⅱ）设函数，求函数的单调区间.

Answer

（1）（2）见解析

【解析】试题分析：

（Ⅰ）利用导数求出在 处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率;
（Ⅱ）先求出的导数并通分,根据，求得的单调增区间, 求得的单调减区间,从而问题解决.

试题解析：

（Ⅰ）当时，，，切点（1,1），

∴，∴，

∴曲线在点（1,1）处的切线方程为：，即.

（Ⅱ），定义域，

，

①当，即时，令，

∵，∴，

令，∵，∴.

②当，即时，恒成立，

综上：当时，在上单调递减，在上单调递增.

当时，在上单调递增.

点睛：本题主要考查了利用导数求解某点处的切线方程、利用导数研究函数的单调性，着重考查了导数的几何意义和分类讨论思想及推理、运算能力，属于中档试题，本题的解答中，求出 的导数，根据，分 和，求得和，即可求得函数的单调区间，从而做出解答.