Question

已知数列满足 .

（1）写出，，并推测 的表达式；

（2）用数学归纳法证明所得的结论.

Answer

（1）（2）见解析

【解析】试题分析：

本题主要考查数列的通项公式和数学归纳法.（1）根据已知条件分别写出，，情况下的的表达式，计算可得，，.

（2）利用数学归纳法，先计算时，是否满足通项公式，然后假设时满足通项公式，计算出时的值，验证是否满足通项公式，若满足则假设得证.

试题解析：

（1）当时，，

∴，

当时，，

∴，

同样令，则可求出，

∴，，，

猜测.

（2）①由（1）已得当时，命题成立；

②假设时，命题成立，即，

当时，，

且，

∴，

∴，即，

即当时，命题成立.

根据①②得，都成立.

点睛：解决该试题的关键是猜想的正确性，以及和运用数学归纳法证明命题时，要注意假设的运用，推理论证得到证明.