Question

在如图所示的几何体中，四边形为矩形，直线平面，，，，点在棱上.

（1）求证：；

（2）若是的中点，求异面直线与所成角的余弦值；

（3）若，求二面角的余弦值.

Answer

（1）见解析（2） (3)

【解析】试题分析：（1）由平面，得；再由， 得， 平面.（2）先建立空间直角坐标系，由，，利用夹角公式可求异面直线与所成角的余弦值.（3）由得.再求出平面和平面的法向量，即可求得二面角的余弦值为.

试题解析：

（1）证明：因为平面，所以，又，所以平面，又平面，故.

（2）因为，所以，又由（1）得，，所以以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，.

所以，，所以，

所以异面直线与所成角的余弦值为.

（3）因为平面，所以平面的一个法向量，由知为的三等分点且此时.在平面中，，，所以平面的一个法向量.

所以，又因为二面角的大小为锐角，所以该二面角的余弦值为.