Question

某商场销售某件商品的经验表明，该商品每日的销量（单位：千克）与销售价格（单位：元/千克）满足关系式，其中，为常数。已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克。

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大。

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）因为销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克即为时，代入解析式可求得a；（Ⅱ）本小题考查用导数方法解决函数最值问题，先求出函数的导数，列表分析导函数在各部分区间内的单调情况，找到极值点，同时要注意函数的定义域.

试题解析：（Ⅰ）根据题意可得，当时，，代入解析式得：，所以；

（Ⅱ）因为，所以该商品每日销售量为：

每日销售该商品所获得的利润为：

，

所以

所以，的变化情况如下表：

（3，4）

4

（4，6）

+

0

-

递增

极大值42

递减

由上表可得，是函数在区间（3，6）上的极大值点，也是最大值点；

所以当时，函数取得最大值42；

因此，当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.

考点：用导数方法解决函数极值与最值问题，函数求导数，用导数判断函数的单调性.