Question

已知动点到定点和定直线的距离之比为，设动点的轨迹为曲线．

（1）求曲线的方程；

（2）过点作斜率不为0的任意一条直线与曲线交于两点，试问在轴上是否存在一点（与点不重合），使得，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（I）;（Ⅱ）存在点.

【解析】试题分析：（I）设点坐标为直接找出关于的方程,这就是曲线的轨迹方程. （Ⅱ） 可知直线与倾斜角互补,则,设带入式,得到的方程,求出的值.

试题解析：

（I）法1：设,则依题意有

整理得,即为曲线的方程.

法2：由椭圆第二定义知，曲线是以为焦点，以直线为相应准线，离心率为的椭圆，易得曲线的方程为.

（Ⅱ）存在.

设直线,

则，即

由得,即

整理得

∴ 解得

综上知, 在轴上是存在点满足题意.

点睛： （1）求曲线轨迹方程的方法有直接法，定义法，相关点法.

（2）直线与曲线相交时通常都需要联立方程组找出两交点之间的关系.

（3）若两直线的倾斜角互补，则它们的斜率互为相反数.