Question

已知 .

（1）若，讨论的单调性；

（2）若不等式有且仅有两个整数解，求的取值范围.

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）函数求导，讨论和两种情况即可；

（2）由不等式有且仅有两个整数解得， 有两个整数解，再说明，即可得有两个整数解，设，求导求范围即可.

试题解析：

(1) ，当时， 在上恒成立，即在上单调递减，当时， 的解集为，即在上单调递增，在上单调递减.

(2) 由不等式有且仅有两个整数解得， 有两个整数解.当时， ；当时， ，所以， 有两个整数解.设，则，令，则，又

，所以，使得， 在为增函数，在为减函数， 有两个整数解的充要条件是，解得.

点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法

(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.

(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.

(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.