Question

已知是椭圆上关于原点对称的任意两点，且点都不在 轴上.

（1）若，求证: 直线和的斜率之积为定值；

（2）若椭圆长轴长为，点在椭圆上，设是椭圆上异于点的任意两点，且.问直线是否过一个定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.

Answer

（1）见解析；（2）直线恒定过点.

【解析】试题分析：（1）设，则， 将坐标带入椭圆化简即可；

（2）设直线，与椭圆联立得，设，由,韦达定理代入得，直线恒定过点，当直线斜率，易得成立.

试题解析：

(1) 由题意设，则，所以有，又因为

,所以,(定值).

(2) 直线过点，理由如下: ① 当直线斜率，易得,

直线的方程为. 直线过点.②由已知，椭圆方程为，设直线，则，设，则,，

， ， 或 (舍去), 方程为，则直线恒定过点，

综上所述，直线恒定过点.

点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.