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设函数. (Ⅰ)讨论的单调性; (Ⅱ)当时,讨论的零点个数.

设函数.

(Ⅰ)讨论的单调性;

(Ⅱ)当时,讨论的零点个数.

 

(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)见解析. 【解析】试题分析:(Ⅰ) 求出,分三种情况讨论,分别令 得增区间, 得减区间;(Ⅱ) 由(Ⅰ)知在上递增, 上递减, 上递增,利用导数研究函数的单调性,结合零点存在定理,可判定函数在, , 上各有一个零点,即可得结果. 试题解析:(Ⅰ) . ①当时, ,当时, , 当时, .当时, .∴在递增 ②当时,令,得,此时. 易知在递增, 递减, 递增 ③当时, .易知在递增, 递减, 递增 (Ⅱ)当时,由(Ⅰ)知在上递增, 上递减, 上递增, 且,将代入, 得 ∵,∴. 下面证明 当时存在,使. 首先,由不等式,∴,∴,∴. 考虑到, ∴ . 再令,可解出一个根为, ∵,∴,∴,就取. 则有.由零点存在定理及函数在上的单调性,可知在上有唯一的一个零点. 由,及的单调性,可知在上有唯一零点. 下面证明在上,存在,使,就取,则, ∴, 由不等式,则,即. 根据零点存在定理及函数单调性知在上有一个零点. 综上可知, 当时,共有3个零点. 【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、以及零点存在性定理,属于难题.利用导数研究函数的单调性的步骤:①确定函数的定义域;②对求导;③令,解不等式得的范围就是递增区间;令,解不等式得的范围就是递减区间.  
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考点分析:
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在平面直角坐标系中, 轴上的动点,且,过点分别作斜率为的两条直线交于点,设点的轨迹为曲线.

(Ⅰ)求曲线的方程;

(Ⅱ)过点的两条直线分别交曲线于点,且,求证直线的斜率为定值.

 

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对某地区儿童的身高与体重的一组数据,我们用两种模型①,②拟合,得到回归方程分别为 ,作残差分析,如表:

身高

60

70

80

90

100

110

体重

6

8

10

14

15

18

0.41

0.01

 

1.21

-0.19

0.41

-0.36

0.07

0.12

1.69

-0.34

-1.12

 

 

(Ⅰ)求表中空格内的值;

(Ⅱ)根据残差比较模型①,②的拟合效果,决定选择哪个模型;

(Ⅲ)残差大于的样本点被认为是异常数据,应剔除,剔除后对(Ⅱ)所选择的模型重新建立回归方程.

(结果保留到小数点后两位)

附:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为 .

 

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如图,在直三棱柱中, 是正三角形, 是棱的中点.

(Ⅰ)求证平面平面

(Ⅱ)若,求二面角的平面角的余弦值.

 

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中,角的对边分别是,已知.

(Ⅰ)求的大小;

(Ⅱ)若,求周长的最大值.

 

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已知定义在上的奇函数满足 为数列的前项和,且,则__________

 

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