Question

如图，在直三棱柱中， 是正三角形， 是棱的中点.

（Ⅰ）求证平面平面；

（Ⅱ）若，求二面角的平面角的余弦值.

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） .

【解析】试题分析：（1）设的中点分别是，连结，可证 是平行四边形，再证明面，即可的结论；（Ⅱ）以 为 轴、轴 、轴建立坐标系， 平面的一个法向量与平面的一个法向量，利用空间向量夹角余弦公式求解即可.

试题解析：（Ⅰ）分别取的中点，连结，则，∴.

∵是直三棱柱， 是正三角形， 是的中点，

∴面，∴平面，∴平面平面.

（Ⅱ）建立如图空间直角坐标系，设，则，

,

设平面的法向量为，平面的法向量为，

则有， ,得,

设二面角的平面角为，则.

∴二面角的平面角的余弦值为.