Question

已知函数

（1）试讨论在区间上的单调性；

（2）当时，曲线总存在相异两点，使得曲线在处的切线互相平行，求证.

Answer

（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）求导得，讨论和的大小下结论即可；

（2）由题意可得，整理可得，整理得，求右边最值即可.

试题解析：

(1)由已知，

由，得， ,且，所以在区间上；在区间上， ，故在上单调递减，在上单调递增.

(2) 由题意可得，当时， 且，即，所以，因为，且，所以恒成立，所以，又，整理得.令在单调递减，所以在上的最大值为.