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已知椭圆短轴端点和两个焦点的连线构成正方形,且该正方形的内切圆方程为. (1)求...

已知椭圆短轴端点和两个焦点的连线构成正方形,且该正方形的内切圆方程为.

(1)求椭圆的方程;

(2)若抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合,直线与抛物线交于两点,且,求的面积的最大值.

 

(1);(2). 【解析】试题分析:(1)先写出一个短轴端点与一个焦点的直线方程可以是,即,利用圆心到直线距离等于半径,列方程求解即可; (2)抛物线的焦点在轴的正半轴上,故,故,抛物线的方程为,由,可得,设点,则, 代入求出关于的表达式,利用判别式大于0的范围,求值域即可. 试题解析: (1) 设椭圆的焦距为,则由条件可得,连接一个短轴端点与一个焦点的直线方程可以是,即,由直线与圆相切可得,故,则,故椭圆的方程为. (2) 抛物线的焦点在轴的正半轴上,故,故,抛物线的方程为,由,可得,由直线与抛物线有两个不同交点可得 在时恒成立,设点,则,则,又点到直线的距离为,故的面积为.令,则,令,可得或,故在上单调递增,在上单调递减,故时, 取最大值,则的面积取最大值为. 点睛:本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系,所使用方法为韦达定理法:因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用.  
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考点分析:
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