Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点.直线： 交椭圆于， 两不同的点.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若直线不过点，求证：直线， 与轴围成等腰三角形.

Answer

（1）；（2）；（3）证明详见解析．

【解析】试题分析：（Ⅰ）求椭圆方程采用待定系数法，首先设出椭圆方程，由离心率和点的坐标可分别得到关于的关系式，结合可求得值，从而得到椭圆方程；（Ⅱ）将直线方程与椭圆方程联立，借助于二次方程根与系数的关系可得到坐标与的关系式，证明三角形为等腰三角形转化为证明直线的斜率互为相反数，通过计算两斜率之和为0，来实现结论的证明.

（Ⅰ）设椭圆方程为，因为，所以，

又椭圆过点，所以，解得， ，故椭圆的方程为

（Ⅱ）将代入并整理得，

再根据，求得.

设直线， 斜率分别为和，只要证即可.

设， ，则， ，

∴

而此分式的分子等于

可得

因此， 与轴所围成的三角形为等腰三角形.