Question

已知函数．

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）若在上单调递增，求实数的取值范围．

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1），求得斜率，且切点，由此得到切线方程为；（2）若在上单调递增，等价于函数的导数恒大于零，分离参数得，令，利用导数求得的最大值为，所以.

试题解析：

（1）∵，∵，即，

∴ 所求切线方程为，即

（2），∵在上单调递增，∴在上恒成立，

∴在上恒成立，令，

，令，则，

∵在上；在上，，

∴在上单调递增，在上单调递减，

∴，

∴，

∴实数的取值范围为

考点：函数导数与不等式．

【方法点晴】本题考查函数导数与不等式的问题，解答此类问题，应该首先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易出错. 解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：（1）利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．（2）将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理．