Question

已知函数（， ）.

（1）当时，讨论函数的单调区间；

（2）当时，若对任意恒成立，求的取值范围.

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）求导数，由导数大于0求增区间，导数小于0求减区间；

（2）讨论和三种情况，研究函数的单调性和最值即可.
试题解析：

（1）当时， ， ，

①当时， ，所以函数的单调递增区间为；

②当时，可知： ，所以当时， ；

当时， ；

所以函数的单调递增区间为，递减区间为.

（2）当时， ， ，

若，此时对任意都有， ，

所以恒成立；

下面考虑时的情况：

若，对任意都有， ，所以，所以为上的增函数，所以，即时满足题意；

若，则由， ，可知：一定存在，使得，且当时， ，所以在上， 单调递减，从而有： 时，不满足题意.

综上可知， 的取值范围为.

点睛：利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法

（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a即可；f(x)≤a恒成立，只需f(x)max≤a即可.

(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.