Question

已知函数的图象的一条切线为轴．　

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）令，若不相等的两个实数， 满足，求证： ．

Answer

（Ⅰ）;（Ⅱ）见解析.

【解析】【试题分析】（1）依据题设条件借助导数的几何意义求解；（2）依据题设构造函数，运用导数的知识分析推证：

（Ⅰ）， ，

设切点坐标为，由题意得

解得

（Ⅱ），令，

则，当时， ， ，

又可以写成，当时， ， ．

因此在上大于0， 在上单调递增，又，

因此在上小于0，在上大于0，

且在上单调递减，在上单调递增， ．

当时， ，

记，

记函数的导函数为，则

，

故在上单调递增，

所以，所以，

不妨设，则，

而， ，有单调性知，即．

点睛：本题以含参数的函数解析式为背景，设置了两道问题，旨在考查导数工具在研究函数的单调性、极值（最值）等方面的综合运用。解答本题的第一问时，先对函数求导，再借助导数的几何意义建立方程组，通过解方程组使得问题获解；求解第二问时，先将问题进行转化，再构造函数，然后运用导数的求导法则对其进行求导，再借助导数与函数的单调性之间的关系分析推证，最终使得问题获证。