已知含有个元素的正整数集（，）具有性质：对任意不大于（其中）的正整数，存在数集...

已知含有个元素的正整数集（，）具有性质：对任意不大于（其中）的正整数，存在数集的一个子集，使得该子集所有元素的和等于．

（Ⅰ）写出，的值；

（Ⅱ）证明：“，，…，成等差数列”的充要条件是“”；

（Ⅲ）若，求当取最小值时的最大值．

（Ⅰ），；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）．【解析】试题分析: （Ⅰ）由为正整数,则， .， ,即可求得， . （Ⅱ）先证必要性：由，，…，成等差数列，故，由等差数列的求和公式得: ；再证充分性：由，故（，，…，），故，，…，为等差数列．（Ⅲ）先证明（，，…，）,因此，即，所以．由集合的性质,分类,即可求得当取最小值11时，的最大值为．试题解析:（Ⅰ）， . （Ⅱ）先证必要性：因为，，又，，…，成等差数列，故，所以；再证充分性：因为，，，…，为正整数数列，故有，，，，…，，所以，又，故（，，…，），故，，…，为等差数列．（Ⅲ）先证明（，，…，）．假设存在，且为最小的正整数．依题意，则，，又因为，故当时，不能等于集合的任何一个子集所有元素的和．故假设不成立，即（，，…，）成立．因此，即，所以．因为，则，若时，则当时，集合中不可能存在若干不同元素的和为，故，即. 此时可构造集合. 因为当时，可以等于集合中若干个元素的和；故当时，可以等于集合中若干不同元素的和； …… 故当时，可以等于集合中若干不同元素的和；故当时，可以等于集合中若干不同元素的和；故当时，可以等于集合中若干不同元素的和，所以集合满足题设，所以当取最小值11时，的最大值为．

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考点分析：

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