Question

已知函数，其中实数．

（Ⅰ）判断是否为函数的极值点，并说明理由；

（Ⅱ）若在区间上恒成立，求的取值范围．

Answer

（Ⅰ）是函数的极值点；（Ⅱ） .

【解析】试题分析: （Ⅰ）对函数求导,将代入导函数的分子,可得函数值为0,根据判别式结合验证可得, 1是函数的异号零点，所以是函数的极值点．（Ⅱ）分类讨论参数a, 当时，函数单调递减，所以恒成立；当时，在区间上单调递增，所以，所以不等式不能恒成立.

试题解析:（Ⅰ）由可得函数定义域为．

，

令，经验证，

因为，所以的判别式，

由二次函数性质可得，1是函数的异号零点，

所以是的异号零点，

所以是函数的极值点．

（Ⅱ）已知，

因为，

又因为，所以，

所以当时，在区间上，所以函数单调递减，所以有恒成立；

当时，在区间上，所以函数单调递增，

所以，所以不等式不能恒成立；

所以时，有在区间恒成立．

点睛:本题考查学生的是导数在单调性以及恒成立问题的应用,属于中档题目. 导数与极值点的关系：(1)定义域D上的可导函数f(x)在x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，并且f′(x)在x0两侧异号，若左负右正为极小值点，若左正右负为极大值点；(2)函数f(x)在点x0处取得极值时，它在这点的导数不一定存在，例如函数y＝|x|，结合图象，知它在x＝0处有极小值，但它在x＝0处的导数不存在；(3)f′(x0)＝0既不是函数f(x)在x＝x0处取得极值的充分条件也不是必要条件．最后提醒学生一定要注意对极值点进行检验．