Question

已知函数.

（1）若曲线在处的切线方程为，求的极值；

（2）若，是否存在，使的极值大于零？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer

（1），无极小值；（2）.

【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，计算，得到关于的方程组，解出即可求得的表达式，从而求出函数的单调区间，进而求出函数的极值即可；

（2）求出的导数，通过讨论的取值范围，判断函数的单调性，从而确定的范围即可。

试题解析：（1）依题意， ，

又由切线方程可知， ，斜率，

所以，解得，所以，

所以，

当时， 的变化如下：

+

－

极大值

所以，无极小值.

（2）依题意， ，所以，

①当时， 在上恒成立，故无极值；

②当时，令，得，则，且两根之积，

不妨设，则，即求使的实数的取值范围.

由方程组消去参数后，得，

构造函数，则，所以在上单调递增，

又，所以解得，即，解得.

由①②可得， 的范围是.

点睛：本题考查了导数在函数中的综合应用，其中解答中涉及到导数利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值与最值，以及曲线在某点处的切线方程的应用等知识点考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中把函数的极值大于零，转化为导数的恒成立问题，进一步利用函数的性质，转化为导数的应用是解答的关键。