Question

已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且点到直线的距离为， 与的公共弦长为.

（1）求椭圆的方程及点的坐标；

（2）过点的直线与交于两点，与交于两点，求的取值范围.

Answer

（1）的方程为，点的坐标为；（2）.

【解析】试题分析：（1）根据抛物线的几何性质，求解的值，进而得到椭圆的焦点坐标，即，又由两曲线的公共点的坐标，代入椭圆的方程，即可求得的值，得到椭圆的方程；

（2）当过点且垂直于轴时，此时的方程为代入椭圆的方程，求得，进而求得此时的值，当与轴不垂直时，可设的方程为，

设，代入椭圆的方程，利用根与系数的关系及韦达定理的应用，化简即可求解的值。

试题解析：（1）∵的焦点的坐标为，

由点到直线的距离为得.

∵，解得，又为椭圆的一个焦点，∴.

∵与的公共弦长为， 与都关于轴对称，

而的方程为，从而与的公共点的坐标为，

∴②，

联立①②解得，

∴的方程为，点的坐标为.

（2）当过点且垂直于轴时， 的方程为代入求得，

∴，把代入求得，∴，

此时.

当与轴不垂直时，要使与有两个交点，可设的方程为，

此时设

把直线的方程与椭圆的方程联立得，

消去化简得，

可得，

∴，

把直线的方程与抛物线的方程联立得，

消去化简得，

可得，

∴，

,

∵，∴，∴，

∴，

综上可得的取值范围是

点睛：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合应用，其中解答中涉及到椭圆的标准方程及其抛物线的标准方程，及其简单的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，此类问题的解答中把直线方程与圆锥曲线方程联立，转化为方程的根与系数的关系，以及韦达定理的应用是解答的关键。