Question

已知，椭圆的离心率为， 是椭圆的右焦点， 的斜率为， 为坐标原点.

（1）求椭圆的方程；

（2）设过点的动直线与交于， 两点，当面积最大时，求的方程.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】试题分析：（1）通过直线的斜率求得，通过离心率即可求得，故得到的方程；（2）设出直线的方程和点的坐标，联立直线与椭圆方程，当判别式大于时，根据韦达定理得根与系数的关系得到的长.根据点到直线距离公式代入三角形面积中，得到其关于的表达式，根据换元法和基本不等式即可得到当面积取得最大值时的值，即求得的方程．

试题解析：（1）设右焦点，由条件知，，得．

又，所以，，故椭圆的方程为．

（2）当轴时不合题意，故设直线：，，．

将代入，得，

当，即时，，

从而，

又点到直线的距离，

所以的面积，设，则，

因为，当且仅当时，时取等号，且满足．

所以当的面积最大时，的方程为或．

考点：直线与圆锥曲线的范围与最值问题.