Question

已知函数.

（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的单调区间；

（2）若对都有成立，试求实数的取值范围；

Answer

（1）的单调增区间是，单调减区间是;（2）.

【解析】试题分析：（1）由导数几何意义得，求导数，列方程，解的值.再解导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定函数单调区间；（2）不等式恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题，即,利用导数确定函数最小值，最后解不等式即得实数的取值范围.

试题解析：（1）直线的斜率1.函数的定义域为， ，

所以，解得.所以， .

由解得；由解得，

所以的单调增区间是，单调减区间是.

（2），由解得；由解得.

所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，

所以当时，函数取得最小值， ，

因为对于都有成立，所以只须即可，

即，解得.