Question

设， .

（1）若，证明： 时， 成立；

（2）讨论函数的单调性；

Answer

（1）见解析;

（2）， 在上单调递增，在上单调递减.

， 在， 上单调递增，在上单调递减.

， 在上单调递增；

， 在， 上单调递增，在上单调递减.

【解析】试题分析：（1）证明不等式问题，一般转化为求对应函数最值问题：即的最大值小于零，利用导数先研究函数的单调性，再得最大值，最后证明最大值小于零.（2）先求函数导数，根据导函数在定义域上解的情况分类讨论，一般分为一次与二次，根有与无，两根大与小，最后进行小结.

试题解析：（1）当时， ，要证时成立，由于，

只需证在时恒成立，

令，则，

设， ， ，

在上单调递增， ，即，

在上单调递增， ，

当时， 恒成立，即原命题得证.

（2）的定义域为， ，

①当时， 解得或； 解得，

所以函数在， 上单调递增，在上单调递减；

②当时， 对恒成立，所以函数在上单调递增；

③当时， 解得或； 解得，

所以函数在， 上单调递增，在上单调递减；

④当时， ， 在上单调递增，在上单调递减.

⑤当， ， 在上单调递增，在上单调递减.

综上， ， 在上单调递增，在上单调递减.

， 在， 上单调递增，在上单调递减.

， 在上单调递增；

， 在， 上单调递增，在上单调递减.

点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.