Question

已知函数 ()在定义域内仅有唯一零点．

（1）若对，不等式恒成立，求实数的最大值；

（2）设函数，对于， ，且，求证： ．

Answer

（1）；（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）直接求导即可得到函数的增减性，只有一个零点，说明其极值为零，即可得到答案；

（2）通过对不等式的变形化简，得到的形式，此时自然运用换元法得到一个新的不等式，再利用导数来对其进行证明即可。

试题解析：

（1）由（），得．

令，解得．

显然，即在的定义域内，

于是当时， ；当时， ，

所以在区间上递增，在区间上递减，则．

因为在定义域内仅有唯一零点，所以，即，

从而．

于是不等式恒成立，即恒成立．

①当时，取，得，而，所以不恒成立，即不满足条件；

②当时，令，则，

令，得， ．

（i）若，即时，当时， ，则在上递增，

从而恒有，即在上恒成立，即满足条件．

（ii）若，即时，当， ，则递减，

于是当时， ，即在不恒成立，即不满足条件．

综上得，即．

（2）由，得，不妨令，

欲证 ，

只需证，

即证，

只需证，

只需证，

即证，

即证.

令（），则只需证，即．

令，则，

于是在上递增，从而，

即，即，所以原不等式成立．