Question

已知中心在原点的椭圆的两焦点分别为双曲线的顶点，直线与椭圆交于、两点，且，点是椭圆上异于、的任意一点，直线外的点满足， ．　

（1）求点的轨迹方程；

（2）试确定点的坐标，使得的面积最大，并求出最大面积．

Answer

（1）点的轨迹是椭圆除去四个点， ， ， ，其方程为（， ）；（2），点的坐标为或.

【解析】试题分析：（1）由已知双曲线的顶点可得椭圆焦点，再由椭圆过定点可解得参数的值，得到椭圆方程；由已知条件设出点的坐标，再由已知向量积为零可得两坐标值的关系，再由点在椭圆上，分析可得点的轨迹方程；

（3）由点到直线距离可得三角形面积表达式，由均值不等式可得面积最大值及此时点坐标。

试题解析：

（1）由的焦点为的顶点，得的焦点 ， ．

令的方程为，因为在上，所以．

于是由解得， ，所以的方程为．

由直线与椭圆交于、两点，知、关于原点对称，所以．

令点， ，则， ，

， ．

于是由， ，得

即

两式相乘得．

又因为点在上，所以，即，

代入中，得 ．

当时，得；

当时，则点或，此时或，也满足方程．

若点与点重合，即时，由解得或．

若点与点重合时，同理可得或．

综上，点的轨迹是椭圆除去四个点， ， ， ，其方程为（， ）．

（2）因为点到直线 的距离， ，

所以的面积

.

当且仅当，即或 ，

此时点的坐标为或．