Question

已知为平面区域： （， ， ）内的整点（， 均为整数的点）的个数，记，数列的前项和为，若对于， 恒成立，则实数的取值范围是__________．

Answer

【解析】作出平面区域如图所示：

由， ，得,而.

当时， ,内有个整点；

当时， ， 内有个整点

综上得内的整点个数,于是.

从而.

则

两式作差得.

则,

于是.

令，则只需.

由，即，得2，由，得或3.

所以，则.

点睛：恒成立问题往往是采用变量分离，得到参变量与另一代数式的大小关系，进而转成求最值即可，对于数列的最值问题常用的方法有三个：一是借助函数的单调性找最值，比如二次型的，反比例型的，对勾形式的等等；二是作差和0比利用数列的单调性求最值；三是，直接设最大值项，列不等式组大于等于前一项，大于等于后一项求解.