Question

已知函数的图象在点处的切线与直线垂直（是自然对数的底数），函数满足，若关于的方程 (， ，且)在区间上恰有3个不同的实数解，则实数的取值范围是（   ）

A.     B.     C.     D.

Answer

D

【解析】因为，所以.

由在点处的切线与直线垂直，

得，解得，

于是，则,

由得，

因为，令，由,解得,

当时， ，则在递减；

当时， ，则在上递增.

所以，且.

所以当时， ；当时， .

作出的大致图像如图，

令，则关于，即为，因为方程的判别式，所以恒有两个实数解.

欲使关于的方程由3个不同的实数解，

只需的两解满足，或.

当时， ;

当时， ,

综上，故选D.

点睛：本题考查函数导数与单调性.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.