Question

学校为了了解高三学生每天自主学习中国古典文学的时间，随机抽取了高三男生和女生各50名进行问卷调查，其中每天自主学习中国古典文学的时间超过3小时的学生称为“古文迷”，否则为“非古文迷”，调查结果如表：

	古文迷	非古文迷	合计
男生	26	24	50
女生	30	20	50
合计	56	44	100

（1）根据表中数据判断能否有的把握认为“古文迷”与性别有关？

（2）先从调查的女生中按分层抽样的方法抽出5人进行理科学习时间的调查，求所抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数；

（3）现从（2）中所抽取的5人中再随机抽取3人进行体育锻炼时间的调查，记这3人中“古文迷”的人数为，求随机变量的分布列与数学期望．

参考数据：

	0.50	0.40	0.25	0.05	0.025	0.010
	0.455	0.708	1.321	3.841	5.024	6.635

参考公式： ，其中．

Answer

（1）见解析；（2）5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数分别为3人和2人；（3）见解析.

【解析】试题分析：（1）通过列联表求得，对应查表下结论；

（2）利用分层抽样的原理，根据比例求人数即可；

（3）利用超几何分布的原理求分布列即可.

试题解析：

（1）由列联表得，

所以没有的把握认为“古文迷”与性别有关．

（2）调查的50名女生中“古文迷”有30人，“非古文迷”有20人，按分层抽样的方法抽出5人，则“古文迷”的人数为人，“非古文迷”有人．

即抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数分别为3人和2人．

（3）因为为所抽取的3人中“古文迷”的人数，所以的所有取值为1，2,3．

， ， ．

所以随机变量的分布列为

1

2

3

于是．

点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：

第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；

第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式（常见的有古典概型公式、几何概率公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；

第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；

第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.