Question

如图，已知四棱锥的底面是平行四边形， ， ， ， ，平面底面，直线与底面所成的角为．

（1）证明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值．

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：(1)先结合勾股定理证明,然后利用面面垂直的性质定理得到再结合条件利用勾股定理证得,利用线面垂直的判定定理得到平面,进而证得平面 平面；

(2), 分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系,由坐标,利用向量法进行求解.

试题解析：

（1）证明：因为， ， ，所以，则．

又因为平面底面，平面平面，所以平面．

而平面，所以.

于是即为与底面所成的角，即．

因为，所以， ，

由， ，得，解得，

从而，于是，

因为，所以平面．

而平面，所以平面 平面.

（2）由（1）知、、两两垂直，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系．

因为， ， ， ，

所以， ， ，

设平面的一个法向量为，则解得

取，则．

设平面的一个法向量为，则解得

取，则．

令二面角为，显然为钝角，则．

所以二面角的余弦值为．

点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.