Question

已知函数.

（1）若是的单调递增函数，求实数的取值范围；

（2）当时，求证：函数有最小值，并求函数最小值的取值范围.

Answer

（Ⅰ）;（Ⅱ）．

【解析】试题分析：（1）函数单调递增等价于导函数，再利用变量分离转化为求对应函数最值问题： 的最大值，最后根据导数求对应函数最值，即得实数的取值范围；(2)实质证明函数 当时先减后增，也即函数有极小值点，并在此极小值点处取最小值，此时要用零点存在定理说明极值点存在.求出函数极小值表达式，即最小值表达式，利用导数研究最小值表达式单调性，并根据极小值点范围确定最小值取值范围.

试题解析：（Ⅰ）

∵函数在区间上单调递增，

. ∴，∴，

令， ，

∴，∴.

（Ⅱ） ∴

∴

∴， ， ，

，

，∴．

由（Ⅰ）知在上单调递减，

，且，∴．

∴，

，

∴， ,

∴的最小值的取值范围是．