Question

如图，在四棱锥中，底面为正方形， 底面， ， 为棱中点.

（1）求证： 平面；

（2）若为中点， ，试确定的值，使二面角的余弦值为.

Answer

(I) 见解析; (II) .

【解析】试题分析：（1）证明线面垂直，一般利用线面垂直判定定理，即从线线垂直出发给予证明，而线线垂直的寻找与论证，往往从两个方面进行，一是利用条件中的线面垂直性质定理得到线线垂直，二是利用平几知识，如等腰三角形性质得到线线垂直，(2)研究二面角的大小，一般方法为利用空间向量数量积，即先根据条件建立恰当的空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面法向量，利用向量数量积求出两法向量夹角，再根据二面角与两法向量夹角关系列方程，解出参数.

试题解析：(I)证明：∵底面， 底面，∴，

又∵底面为矩形，∴， ， 平面， 平面，

∴平面，又平面，∴， ， 为中点，∴， ， 平面， 平面，∴平面.

(II) 以为原点，以为轴正方向，建立空间直角坐标系，令，

则， ， ， ， ， ， ， ， ，

设平面的法向量， ，即，

设平面的法向量， ，

即，

，解得.